来听史宁中教授谈课标的修订与核心素养！

史宁中:数学课程标准修订与核心素养（讲座实录）

大家知道这个月的21日教育部颁布了这个课程方案和课程标准，现在我趁现在这个机会，向各位老师和各位同学汇报一下，这次数学课程标准修订的基本原则、一些想法和主要的地方，当然这次课标从高中课标开始，咱们国家的教育就是强调了核心素养这个事情，所以我想趁这个机会谈一下最近对于核心素养的理解，有很多是，我主要在谈我和我们这个小组，包括高中的小组和初中的小组，想是如何想问题的，供你们参考。

第一个问题，谈一下课程标准的背景和要点。第二个谈一下核心素养的理解与表达，第三个谈一下课程内容，这次的结构是怎么构建的？是做了哪些调整？

谈第一个问题背景要点，咱们这个世纪中国的基础教育发生了很大很大的变化，这个变化主要是表现在，过去叫做教学大纲，后来改成了课程标准，因此基础教育的改革，在本质上就是课程标准的制定和落实的问题，2001年颁布的实验课除了相当一些教材，在座的一些老师可能知道2005年出了一些问题，教育部就决定要修订，修订当时那个在这个之前我根本没有接触过这个基础教育的这些事情，但是那个时候教育部长周济，责令我来修订这个标准，他说你是师范大学校长，你又是学数学的，你来修订了，后来我就开始修订，一直后来又修订高中到现在又修订了，已经近20年时间，这个修订之后2011年吧，就是10年前，它的一个重大变化是什么？我想简单说就三个方面：

 一个是课程目标与教学目标，过去传统教学目标是双基，双基在本质上是学苏联，是52年开始到63年形成文件，后来我们发现双基不够，拓展到四基就是加上了基本思想和基本活动经验，过去强调是分析问题和解决问题，但是到了2011年左右，中国已经提出培养创新性人才，因此光有分析问题和解决问题能力是不够的，又把这个拓展到四能，就是增加了发现问题的能力和提出问题能力。

还有一个课程内容，就是2001这个标准里，没有几何了，他是用空间与图形来表达，后来我们把它改成图形与几何，并且增加了若干个基本事实，这样的话几何证明就成为可能，我当时没想到，可能在数学教育界一直存在这个问题，我当时没有注意到，11版颁布之后，有几位中学的教研员问我，是不是数学的证明只有几何证明没有代数证明，我一下就愣住了，我说怎么会这样，出现这个问题后来我想明白了，这是课程标准里头，代数给了基本事实，几何没给基本事实。因此大家都认为不从基本事实出发的证明就不是证明了，这样的话在刚颁布的这个，增加两个基本事实，一个是等量与等量相等，也就是A等于B，B等于C，则A等于C，这是基本事实，这是无法证明的事情。还有一个就是等式的基本性质，等号两边加减同一个数等号不变。

还有11年已经把三大能力，咱们国家一直所说的数学三大能力运算能力、推理能力和空间想象力拓展为8个核心词，除了保持这些之外，加上了数感、抽象有关的核心词，是很重要的变化，传统的数学教育不强调抽象，但对于数学来说，抽象是极为重要的。在提出这个时候有这个想法之后，当时我拿不准，就在06年那我就请了，我最近找到的照片，他们问我那个四基什么时候提出来，我就开始找资料和找了照片，06年我请北大的江先生，江伯驹先生，复旦的这个李大强先生，南开的侯自新先生，吉大的吴卓群先生到东北师大来谈，从双基到四基可不可以，征求一下你们数学家的意见，他们都挺支持的，特别是对基本活动经验，非常赞同，他们说数学的结论是看出来的，不是证明出来的，因此所有学科对培养这个学科的直觉是极为重要的，但是，江先生当时问我，你说的数学的基本思想是指什么？我当时没有认真地想，我说江先生你这问我一时我也答不上，我说我来写书来回答你的问题吧，在当时开会的时候，我们请了教育部的副部长主管基础教育副部长陈小娅基础司司长，到东北师大一起参加研讨，当时在会上基本就定了四基是可以的，那么思考之后的基本思想是什么？基本思想，我想第一就是学习数学一般愿意给一个思维的原则，那么就是数学基本思想是数学的产生与发展所必须依赖的思想，还有学习过数学人应当具有的思维特征是什么？后来想来想去就想到抽象、推理和模型，通过抽象使得现实世界的事情到了数学内部，因为通过抽象得到了数学研究成果，抽象主要是对象是数量与数量关系，图形与图形关系，形成了研究对象和研究对象之间的关系，用定义符号与表达，那么数学自身的发展是通过推理得到，因此数学结论通过推理得到的，推理主要分两类，一类是归纳类比是得到结论，还有一类是演绎，通过演绎的方法论证结论，我又写了一篇很长很长的文章论证，无论是归纳类比还是演绎推理都是有逻辑性的，我把逻辑定义为具有传递性的那种推理形式叫做有逻辑的推理，这样的话就论证了，归纳和类比都是有传递性的，演绎也是有传递性，因此数学之所以有严谨性，就是因为它的无论得到结论的过程还是验证结果过程都是有逻辑。

还有第三个就是模型数学通过模型语言构建了与现实世界的桥梁，因此数学返回现实世界是通过模型布局，很多学科用数学语言来表示他那个研究那个领域的性质关系和规律，因此模型很多命名是用他那个学科的术语来命名，这个模型是作为基本非常重要的，就是抽象、推理和模型，那么这次课标修订有两个根本任务，两个根本任务是所有学科都必须完成的任务，就是第一个立德树人，立德树人这件事情，教育部04年的文件是通过核心素养的落实来完成立德树人的根本任务，并且要求高中课程标准，就应该落实核心素养，用核心素养指导课程标准的始终，义教也提出了这个要求，因此我们这次课标修订有一个任务就是如何落实核心素养，还有一个就要求实现学科融合，这是一个世界潮流，不光是中国现在要求这样，有很多发达国家都是要求就是要把在义务教育阶段，不要把学科分得很细，要把科学包括自然科学一些学科与数学有机融合，因此这次的所有学科都要完成的一个任务，那么对于数学来说需要完成这么5件事情：

一个是学段的划分，关于学段的划分是一件很难的事情，其实编2011年那个课标的时候，就想到小学分三个学段，原来小学是两个学段，一到三年级一个学段，四到六年级的是一个学段，其实比较合理的是一二年级一个学段，三四年级一个，五六年级一个，其实对于义务教育来说有个基本原则，就是该教什么教什么，小学一二年级的孩子不太适应学数学，因为他说话都说不明白，他不是数学懂不懂，他说话挺懂事，因此，一二三年级是一个学段，有点不是很合理，这是第一个。第二个，四五年级你仔细调查一下，发现四五年级的孩子在思维过程中有一个很大的分水岭，五年级的孩子似乎就对一些抽象的东西多多少少能够理解一些，因此学段划分三个学段比两个阶段合理，这个就是根据心理素质来定。因此这一次是不是能够划分成三个学段，最终实现了；

还有一个是把四基四能，就是我刚才说的，也要提倡的核心素养怎么样容易有机结合的问题；

还有一个就是刚才我也说到了代数是不是要增加代数推理，几何要加强几何直观要提升数学的数量，那么这个在这样的前提下，如何调整课程的结构与内容，这是一个大问题；

  第四个就是在综合与实践里头，如何容易跨学科的知识和传统文化；

第五个是最大最大的一件事情，就是如何体现数学的一致性，这个可能很多老师和同学不太知道这个一致性的问题是什么，我稍微来阐述一下问题本身是什么，一个是现在小学数学最大的问题是数的认识，缺乏执行。什么意思？就是缺乏一个数学化的过程，整数怎么认识？是数量。分数小数怎么认识，通过圆角分。米分米厘米分数是强调等分，看到这里没有一个共同的东西，能把这三个数串联起来，因此在分数的时候，没有强调分数的单位，这样这个问题就出在比较大小1/2比1/3大，你到底是什么？是分子相等，所以分母大分数小，事实上对于分数来说道理说不应该存在这样的道理，这样的道理应该是在同样的单位下加才能比较大小，因此1/2和1/3比较大小，必须得到同样的单位，那就是变成3/6和2/6，3/6比2/6大的，这是道理，这样就可以得到1/2比1/3最大可能是算法里和法不是一样，这件事情是很重要，我下回会想到这问题，特别是数的运算缺乏一致性和举例说明，分数和小数的除法是小学数学教学的重点和难点，但是各讲各的理，分数除法用包含除的原则来讲，比如1包含3个1/3，所以1÷1/3=3，那么4÷1/3怎么办？变成了4×1/3除上这个，然后括号1÷1/3=3，所以4÷1/3=4×3，事实上这个道理是很深的道理，因为什么？因为你可以举很快的举个例子，1除4，也等于4，那么就变成4÷1再乘1/3，就变成4除3到底哪个对？为什么这么算是对呢？分数除法用商不变就是0.4÷0.02，这个扩大100倍，这个扩大100倍不变，这个为什么商不变就是对的？举例说明你的例子都是实数的例子，都是整数的例子，整数为什么比小数好使？这是个问题，因此各讲各的理，使得学生认为数学分了好多样，整数的数学，分数的数学、小数的数学。运算又有分数的运算，小数的运算、整数的运算，这样的话不仅仅是把学生的思维搞乱，更重要的是耽误了很长时间，为了讲这些理耽误了很长时间，有一次我在给北师、人教版来讲这个事情，有个学生问道，后来他说老师按你这样就不省了很多事情，我说是你把简单的问题讲麻烦，所以这个学生不值，你费了那么大劲儿，而讲的东西，往往不一定是有用的东西。后来我就写了一篇文章，只有一页的文章，就是关于除数是分数或者小数除法的一个数，只有一页就很短，就谈这个事情，反正我的学生看见我这篇文章，他说老师，菲莱登塔尔早就看出这个问题了，他给我找了我一看，就这么说一味地依赖具体情境会使得除法问题变得更加复杂。由于教师与教科书的编写者对于如何从直观的分数进展到算法的分数，最终又如何引出分数的规则，缺乏适当的观念，从而使情况更为恶化。因此他提出了一个数学化的过程，但是他只提出了问题，没有说如何解决的问题，我在这篇文章就是解决了这些问题。因此课标决定保持两个原则，11年版的合理内核，17版的核心素养。

那么怎么来理解和表达核心素养？这个因为时间关系我可能要说的更快一点，这个核心核心素养的这个事情，这次这一版的义教版也在用核心素养，因为立德树人的根本任务没有变，所以很喜欢，这样的话核心素养你看，它要涉及到小学初中高中，我想很可能未来将涉及大学研究生，可能还指导老师还是研究者，素养必须具备这么三个基本的特征给供你们参考，我说的不一定对了，第一个，那你不能小学有小学的，初中的初中高中有高中，核心素养这件事情应该是从始到终，每一个学习过数学人都应该具有的，但又是终极的永远达不到，那是这样的一种。还有一个就是阶段性，每一个不同的学习阶段应该有不同的表现，有身体身心发展有关知识储备有关，与经验积累有关，因此这是最关键的。核心素养的表述应该有整体性，既有数学的特征，又有数学教育的特点，更具体的说具有学科的思维特征，又一个认识心理学的特征，认知的特征，就是定义为通过数学教育学生获得的核心素养，教育部希望的表述名词变成这样，就是原来的学科核心素养这个词取消了，但是我在想这个这样的东西简称是不是可以简称到数学核心素养，但是这次课标里没有写数学核心素养，只是用这样的定义来表述核心素养，这个东西是一种与人的行为有关，教育的终极目标，这个东西是在过程中养成的，是经验的积累，因此本人参与，一个人会不会想问题是自己想想积累的经验，会不会做事情也是实践的结果，因此这些东西不是老师教出来，是自己悟出来，这是经验积累，这是过程性目标拓展，是四基的继承和发展，这样就把核心素养表述为会用数学眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，这样的话这样的表述又有数学本身的特征，也有数学教育，所要描述的认知方面的，心理学方面的那么一种特征，这是很重要的，这个因为现在的核心素养跟原来我曾经说的那个数学思想又就更一般更包含东西那么多了。

我们来具体看一下，什么是数学的眼光？为什么要观察？因为数学为人们提供了一个认识与探究现实世界的观察方法，因此只具有了数学的这种观察方法，那么学生就能够直观的理解数学的知识及其背景，能够在日常生活中和其他学科中发现用数学的方法能够研究的那些东西，并且能表示出这些研究对象和他的关系，具有这种视野的话，他就能够提出发现有意义的数学问题，引起数学探究，情感、态度、价值观方面能够发展好奇心，想象力和创新意识，那么在这个意义上它比刚才我说数学的抽象更加上位。

 那么什么是数学的思维？数学是如何思考现实世界？那么数学为人们提供了一种理解和解释现实世界的思考方法，通过这个学习，学生能够理解数学的基本概念法则的发生与发展的过程，知道数学基本概念之间的关系到数学与现实世界的问题，能够合乎情理的理解数学的一些结论，能够探究现实世界的规律，用数学的方法探究规律，能经历一个数学再发现的过程，能够培养批判性思维，能够培养实事求是的态度，培养理性精神。

那么什么是数学语言，数学是如何来表达的？数学为人们提供了一个描述与交流现实世界的表达方式，这一点他比模型就更加上位这个说法，学生掌握了这个数学的语言，他就初步掌握数学与现实世界的交流方式，能够有意识地用数学表达现实生活中和其他学科中的形式关系的规律，感悟数据，这是跟我们统计学有关，感悟数据的意义和价值，只有在这样的过程中，学生才能感悟数学语言，包括他的表达概念，包括他的表达，包括他的数学的一些等式、不等式等等，简洁与优美，养成用数学语言表达和交流习惯，增加跨学科的应用意识和实践，这样的话就是核心素养。我们进一步来分析这个事情。

那么核心素养，他的数学特征是什么？数学的眼光虽然我说的数学是人们观察世界的一种方法，但本质上是数学抽象，它具有一般性，数学思维在本质上就是逻辑推理，就是具有传递性的一种推理，因此数学能够培养思维能力这件事情应该细化。他培养所有的思维能力，比如形象思维能力和辩证思维能力他不一定能培养，他培养的是逻辑思维能力，具有传递性思维能力，如果符合的标准是从小到大，就是归纳和类比，从大到小，就是演绎，因为推理是具有逻辑的，因此数学具有严谨性，在现代社会，所有学科要走向科学，它就要尽可能多的使用数学理论，构建数学的模型，使得数学形成一个新特征，就是应用的这种方式，这个极很长时间几代数学家对数学的观点可能会有所不同，但是关于数学这个一般性严谨性和应用的广泛性的认知是一致，因此我们现在把核心素养与数学的思想与数学的特征有机的结合起来，这一个任务完成。但是我在一直到我准备这个PPT的时候，我也没想特别清楚，就是核心素养的教育特征就是我刚才说的认知和心理方面的特征，我没有非常好的描述出来，所以我给你们老师和同学留下个作业。

核心素养的阶段性特征，阶段性特征，大概这个是正确的，这是低年级的学生，应该更多的是基于感官的认知进入感知，因此应该更加具体，应该更加侧重于意识，意识是基于感性的。高年级应该基于概念，更加侧重观念，观念是在概念基础上的认知，借助于思想集中的能力，这样我们保留了11年的10个核心词，17年的6个表现，把核心素养具体表现阐述是这样，在高中阶段6个词抽象，想象，逻辑，推理，计算，跟数学的思维和眼光思维，跟语言对应的初衷就是更具体的抽象能力，空间观念，几何直观。小学更具体了，小学几乎没有强调抽象这件事情，而谈的是符号意识，数感这次又加了一个词：量感。但是老师们一定要知道，这些东西是抽象的一个具体的体现，到初中在更多的谈抽象，这个推理这件事情，小学只要有推理的意识就行，在初中强调一下推理能力，到高中要明明白白的说推理的形式，形式推理就是有传递性的，小学阶段只要求的一个能力就是运算，还有小学，虽然只有模型意识就行了，数据意识就行了，到了初中阶段形成的思想形成的观念，到高中阶段就要求能力了，这是关于核心素养。

为了这个核心素养能够成立，我们把课程标准改变的表述改变了。就是数学是什么东西，这个东西改变，这句话保留了，数学是研究数量关系和空间形式的科学，这句话保留了就是数学主要研究对象，那么数学强调数学抽象，数学源于对现实世界的抽象，主要是两个，一个是数量和数量关系，一个是图形与图形关系，这跟上头这个是对应的，得到了数学的研究对象及其关系，第二个基于抽象结构，得到了数学符号的运算形式构建等得到结论的方法，帮人们，这个是很重要的，帮助人们认识理解和表达现实世界，表达现实世界的什么事情，能够表达那些有规律性的东西，就是不是现实些什么事情，而表达那些具有本质的关系和规律。因此数学不不仅仅是运算和推理的工具，也是表达和交流的语言。这是很重要的，因为语言承载的思想，语言承载文化，也是一种语言的话，那么数学也能够承载这个思想，承载着文化，因此数学是人类文明的重要组成部分。对于这样的一种认识世界的认识数学的方法是从伽利略和牛顿那个时代提出来的，就是宇宙这本书是用数学语言来形容，如果不懂得数学语言，那么在我们只能在黑暗中，爱因斯坦说这个由于伽利略看到了这一点，尤其是由于他向科学界谆谆不悔的教导，这一点使他成为近代物理学之父，事实上也成为近代科学之父，这是现代科学的发展，是因为用数学的原理来表达了现实世界的规律。这就是爱因斯坦这么评价的。

那么下面再谈课程内容的结构与调整，这样的话我们强调的抽象，在抽象的基础上强调了抽象结构，抽象结构是什么事情？是近代数学发展的一个很基础的东西，就是我们不仅要知道研究对象是什么，更重要得知道研究对象的性质是什么，运算是如何，运算的关系是什么？这件事情是极为重要的，这件事情最早是亚里士多德是这么说的，他说我抽象出这个线、角的这些东西，不是为存在，而是关系，就是这个东西存不存在本身不是重要，重要是他们的关系，这一件事情被希尔伯特说到了极致，希尔伯特说的欧几里得关于点线面的确定再说数学上的不重要，它之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公里数做了他们之间的关系，换句话说无论把它作为点线面，还得把他的桌子上，桌子椅子，啤酒瓶和结论都是一样，因此仅就概念教概念的教法是有问题，教概念的同时，应当教它的性质关系和规律，教其中的一样或这个这是非常重要，因此螺旋式上升我是同意的，但是你光说一下他叫啥名就走了是不行，你要说这个事情，你要不就谈着性质，要不谈的关系，要不谈一些这个运算，就看到现代数学的基础是集合，集合论GIF工业体系，现代数学的基础，在集合的基础上虽然这个基础上谈顺序，那么就构建了数的关系，数的本质是大小关系，这是数，算数对数量的时候质量的本质是多少？那么数的，本身从一定抽象出来就是代数，因此实数空间构建函数的基本空间数实数，空间的本质是也大部分是代数关系，那么就是单纯是不存在最小数什么，这是构成了很重要的一个事情，还有在大学里度量是非常重要的，定义距离空间，比如概率论就是主要基于两种策略，一种是计数测度，勒贝格程度，这个是很重要的，它有一个结合设计和运算的结合，在大学里因为得到近世代数这是对基础教育来说运算也是很重要的，就是知道研究对象之后一直到研究对象的运算。

特别是属于我们说的数域跟研究对象，这个跟运算有直接的关系，就是要保证运算，主要是保证运算的封闭性，这样的话，减法使得自然数扩充到到整数，除法损失了整数，扩充到有理数，高中阶段虽然讲的有理数和无理数的区别，他把这样的数定义为实数，但是高中阶段没有解决实数问题，第一他没有解决实数的运算，第2个没有解决实数的连续性，因此实数的解决是在大学阶段是通过极限定义的实数，解决了此处的运算和连续性问题。这样的话基于这样的思想，我们把传统的数与代数6个主题合并成两个主题，虽然这个领域没有变， 但是主题这次发生了很大的变化，比如几何意义，图形几何的4个主题变成2个主题，把图形的认识和测量放在一起，把数的认识和运算放在一起了，所以在教学过程中，我们在这次课标里提倡要整体备课，包括全年级的整体备课，包括全学段的整体备课，包括全校老师的整体备课，从对应于核心素养刚才我说的整体性一致性和阶段性要体现在日常教学中的整体性一致性和阶段性，日常教学中的整体性是指知识体系和相应的核心素养的整体把握，一致性是从概念的最初提出到最后的实际应用，这个数学应当是一致，它有一个阶段性就是我们知道了是我们研究的数学的知识是如何进行进阶的，还有如何核心素养的是如何进阶，这次提出一个想法，这个可能要研究问题还很多，因为时间关系我不会直接来讲。

现在学段分成了三个学段综合与实践增加了内容，主要增加的是跨学科的内容，特别是在综合与实践，强调了传统文化，比如曹冲称象、度量衡、圆周率的故事都要讲数学，这是很重要的，数学讲传统文化与其它学科讲传统文化是不一样，比如数学讲曹冲称象除了认识重量单位之外，还要讲等量的关系相等，这个道理还要讲总量与分量和道理，这是曹冲称象所蕴含的数学，因为时间关系我不细讲，这个事值得探讨。

因此老师未来在这样的教学中，应该认真的思考这件事情，在讲这个代数推理，这次课标强调代数推理和几何直观，代数推理就是通过归纳类比得到结论，这个想法是在小学是不是能够稍微梳理一下，比如我一直关心这个事情，我希望教材编者认真思考，比如我们讲了两位数乘一位数，两位数乘以两位数，三位数乘以一位数，那么关于三位数乘以两位数的计算方法，是不是可以让学生自己得到，从让学生通过这上面能归纳一个算法，要进行这样的归纳，你教材编写就应该注意了，过去你教材编写光写竖式不写横式，上次我很认真谈这件事情，北师大版改过来就是要写横式。

你光讲算法不讲算理是不行的，比如说这个乘法这个数字运算也是这样的，把这个数要分解了，因此分配律要用到的，因此乘法算里决定算法，这个思想是非常重要的一种事情，不信我写的是我今天最后把这个都留给你，几何要增加尺规作图，要感悟抽象物体的存在，几何抽象的本质是什么？我想几何抽象的本质就是把三维的物体用二维图形表现出来，因此几何的本质是二维和三维之间的关系，因此在小学阶段进行尺规作图是必要的，感悟到抽象物的存在，比如圆的存在，比如同样长的线段，除了能用刻度之外，圆规也能量出，能够给个线段能做出等边三角形，直到什么是周长的时候，下面再谈三件事情，这个是特别要修改一个关于数学化的事情，刚才我已经谈了，这个事情是课表是这么写，要初步体会数概念的一致性和运算的一致性，怎么实现这个一致性就是怎么实现这个数学化，我们这次特别引进一个计数单位的概念，计数单位是说是一种特殊的计量单位，是什么样的计量单位，是个数和顺序的计量单位，把它作为数学化一次性的抓手，怎么来做为抓手？数的认识，不管是分数小数还是整数，都是多少个计数单位的表达，把这件事情说了，因此。4/3是4个1/3，1/3是计数单位，这样的话就解决了这个假分数的问题，要不你假分数永远说不清楚，你说分数等分的话你怎么说你多少个计数单位，小数也是这样，运算也是这样，通过计数单位就比较大小应在同样的计数单位进行，加减运算应在同样的计数单位进行，因此分数通分的道理是要得到同样的计数单位，因此分数的加减运算要通分，就是为了得到同样的计数单位，这样的话再算理上就是一次，无论是整数的运算，小数运算和分数运算都是这样的，乘法运算是个数和个数运算，计数单位与计数单位运算。

还有一个方程，主要是两个原因，第1个方程没讲没涉及到方程的本质过去，小学数学，他把方程认为只有一位字母表示未知数，其实表示未知数不是问题的本质。从算数变成代数是从美达开始，是从用字母表示了这个方程中的系数，而不是表示未知，表示未知数古希腊就有，因此用字母来表达性质，关系和规律是非常重要的，过去字母表示只有半节课，最多的也不到一节课，现在是要求6节课8节课，感悟出字母就是抽象的意义，还有过去简单方程，5-x=2这样的方程的研究，其实这样的方式已经是非常不合适的。现在有一个基本原则，可能是未来教材编写，这次教师讲课应该遵循，就是所有的新的概念的引入和新的方法的引入，必须让学生感悟必要性，不是我教你你就得学，不是这么回事。我教你这个东西是很有用的，所以你要学，要引导学生学习，有兴趣，就是要学习更有用的，因此方程必须在用四则运算结解起来非常困难的情况下，我们才能够引入方程，感觉方程是一个非常好的事情，这是一个事情。还有一个这样的方程引入是不可以的，就是传统说的含有未知数的等式叫做方程，这个定义是不成立的，因为数学定义必须是充分必要，把点x=x，这个东西是含有未知数的等式，但它不是方程，它是计算的结果，它是传递性的结果，它不是方程，方程必须讲两个故事或者更多的故事，这两个故事亮相的，因此等号有两个功能，一个是表现传递性功能，一个是表现亮相的，这是方程。

还有一个这次把百分数移到统计概率，这事信息时代大数据的要求，因为百分数的处理在大数据的处理中是越来越重要，那这样子的传统的教学，一个饮料中果汁行业确定性的5%，过做到随机性，比如变成投篮的命中率，而5%的引入，就是可以进行那个随机性向的决策，随机现象的决策比确定性的决策，还有在现实生活中，因此在小学阶段孩子们多少感悟一下，对于随机现象怎么来决策，比如用百分数，比如我们制定四年级孩子的跳绳的标准，怎么办？让孩子跳记下来，从小到大排队，如果容易通过在前20%，或者是50%，或者是75%来决定这个跳绳标准，比如咱们国家制定蓝天计划就是这么制定的，所以把百分数引到统计概率是为了更加适应大数据的要求。在初中阶段引入了这个数据分类，这个大数据数据太大了怎么办？一个最简单的方法就是分类，那么分类的原则是什么？我们在初中来讲，好因为时间关系我就讲的是，谢谢大家！

（问：义务教育课标前两周刚刚颁布，那么今天史校长相当于高屋建瓴的给我们把最新 颁布的义务教育课标的一些很精髓很深邃的东西给我们做了介绍，那么下面还有一点时间，直播间有这样几个问题，麻烦史校长帮忙解答一下，第1个问题是如何理解抽象中的一般性和推理中的一般性，两者的本质区别是什么？）

数学这个抽象中的一般性是这样的，两匹马两头牛，抽象为数字2，这个数字就有了一般性，数字2本身在现实世界中是不存在，数学研究的东西在本质上都是不存在的，它是抽象的东西，这样的话，但是这个抽象的东西可以在现实世界中表示所有数量是2的那些东西，因此就有了一般性。进一步用字母表示数就更加一般了，这个字母要在抽象到集合就更加一般了，集合中的元素可以是数可以是字母，但也可以是几何图形，甚至可以是方程式，这样的话数学就逐渐的越来越抽象，脱离了现实世界就越来越远越来越远，而推理中的一般是这样，推理中一般这个事情很难理解，这位老师看来是思考的比较深刻的，一种是从归纳得到的一般，从归纳得到的一般比如是哥德巴赫猜想，从4、6 、80具体的偶数可以表示成数数之和，到所有的偶数都可以表示为数数之和，这件事情就是从具体到一般，这个是结论是一般的数学结论，这个一般和演绎推理从一般到特殊的一般是不一样，演绎推理中的一般往往是从一个假设或者从公理出发，比如我们高中要讲1+1/n的n次方，n趋无穷大，这个数列是数列的，这件事情你永远证明不了，这个你用定义永远证明不了这个事情，所以数学极限的定义是是一种形式化的，你没法这么证明，那怎么办？我们必须建立一个公理。这个公理按照新的说法，我认为新型的说法是有道理的，就是单调有界的有理数列必有极限，这是一个一般，通过这个一般我要数学证明证明什么？证明你给的那个数列1+1/n的n次方，这个数列本身是单调有界，如果你证明完它是单调有界的，那么根据这个一般结论，你在你现在所说的数列也是有限的，因此这三个一般是不同的，一个是概念性的，一般就是研究问题的一般化数学研究的问题的一般化，一个是从归纳推理或者类比推理，从具体到一般是结论的一般化，论证的一般是从公理，一个就是我刚才说的过去几何给的两点间直线最短，或者是这次给的a等于b，b等于c，a就等于c传递性公理，这些东西出发来说明问题，这样的一般。

（问： 如何运用新课标要求来制定教学目标？）

就是我现在建议，如果可能的话，你们最好，不管是小学还是初中了，最好全年级的数学老师，全校的数学老师在一起备几天课，这个数学我跟你谈了，数学的抽象，是一步步抽象起来的，特别是我刚才说到了认识数的一致性，就是从具体的一个情境认识的数，到一般性的数学表达，这个过程是循序渐进的过程，特别是运算，20位数以内的加减运算到万以内数加减运算到分数运算，整个这个一致这个过程，应该所有的老师都知道，因此我非常建议整个学科的整个学校的数学老师在一起，知道整个这个数学的脉络，是如何进展的，然后每个年级要备课就知道你这个年级在整个脉络中所占的地位是什么，然后每个老师也都知道某一节课在这个地位中的具体地位是什么，这样的话才能把数学的教育整体一致，同时核心素养的培养整体一致，这是非常重要的，因此，为了实现这个，一个要知道数学的整体，你只要知道核心素养的表现，就是抽象过程的整体，逻辑推理过程的整体，这个有机的结合起来，知道用哪个知识来谈哪个问题是恰如其分，恰到好处的，这些问题都研究清楚，这个教学就好，但是这个研究中绝对不是很短，时间很长，我想能有5年到10年能完成就很好很好。

来源：本文综合整理自追寻数学本质、全景式数学、小学数学教与学等公众号。

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