用“四维法”分析一类动点型问题

用“四维法”分析动点类问题

南京29中致远校区  鞠 峰

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动点问题是中考的一个热点，也是教学中的一个难点，这类题综合性强、开放度高，要求学生能从“运动、变化”的角度去思考问题．动点类问题从运动主体来看，包括单动点问题、双（多）动点问题；从运动路径来看，包括在直线形、多边形、圆、函数图像等上面运动；从问题呈现方式来看，可以研究面积问题、函数关系、最值问题、存在型问题等.

本文所说的用“四维法”分析动点类问题，就是指从“运动路径、时间范围、过程分析、数量表示”四个维度分析动点的运动过程.“运动路径”是指研究动点在什么图形上动，这个图形通常可表现为直线、射线、线段、折线、多边形、圆（弧）、函数图像等；“时间范围”则是指动点的运动从什么时候开始，到什么时候结束.双动点问题通常会这么描述：“当一个点到达终点时，整个运动随之停止”.这个“时间范围”其实可以为后续研究中的分类讨论或根的取舍提供依据；“过程分析”则是要分析整个运动的过程，看看是否需要进行分类讨论.分析时要抓住一些特殊点，如起点、终点、交点、拐点或其他表示特殊位置关系的点；“数量表示”则是用含有时间这个变量的代数式表示出已走的路程或未走的路程，这一步其实是从分析问题过渡到解决问题的关键，通过这一步，可以把具体问题数学化，为后续建立相应的数学模型做好准备.我们一起来看几个例子.

例1．（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．动点P从点B开始沿折线BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度运动到点A．设点P运动的时间为t（s），△PAB面积为S（cm²）．

（1）当t=2时，求S的值；

（2）当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；

（3）当S=12时，求t的值．

【题目分析】

这是一道单动点的问题，我们用“四维法”分析动点P的运动过程. 先看运动路径，点P的运动路径是折线BC﹣CD﹣DA；再看时间范围，求出AD=5cm后，我们可以知道P点的运动路径总长14cm，因而点P的运动时间范围是0≤t＜14；三看过程分析，点P的运动中，AB边上的高不同，因而需要分类讨论；四看数量表示，当P点在BC段运动时， AB边上的高即为P点的路程，当P点在DC段运动时，AB边上的高为定值4，当P点在AD段运动时， AB边上的高可通过相似或三角函数求出来.

基于前面对运动过程的分析，我们再来看题目的3个问题就很清楚了.（1）动点P以1cm/s的速度运动，当t=2时，BP=2cm，∴S的值=8cm² ；（2）当动点P在线段AD上运动时，根据相似或三角函数求出高PE，再求出S的函数表达式；（3）当动点P在线段DC上运动时，面积最大，此时面积为16cm²，因而 S=12时，P点可能在线段BC上，也可能在线段AD上，需要分类讨论.

例2.（2014娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；

【题目分析】

这是一道双动点的问题，我们用“四维法”分析动点P、Q的运动过程. 先看运动路径，点P的运动路径是线段BA，点Q的运动路径是线段AC；再看时间范围，题目中明确说明运动时间范围是0＜t＜4，这说明动点P没有走完全程运动就停止了；三看过程分析，两个动点都是在线段上运动，因而不需要分类讨论；四看数量表示，当BP表示P点已走的路程，AP则表示P点未走的路程，AQ、CQ分别表示类似的含义.因此，在运动过程中，BP=t, AP=5-t, AQ=t, CQ=4-t .

基于前面对运动过程的分析，我们再来看题目的3个问题.（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，从而求出PH，利用二次函数的知识即可得出答案；（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，QE=EC，由△APE∽△ABC，求出AE 、EC，再根据QE=AE﹣AQ，再求t即可；（3）分三种情况讨论，①当AQ=AP，②当PQ=AQ， ③当PQ=AP.

综上，借助于“四维法”可帮助我们很好地分析动点运动的过程正确.解决动点类的问题还需要我们分析变量与其它量之间的内在联系；探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的东西．

解决这类问题还要体现数形结合的思想，把函数与方程、函数与不等式联系起来，综合运用数形结合、分类讨论、方程、函数、转化等数学思想方法去探索解题的思路．