一、数学核心素养的发展及其基本内涵
（一）数学核心素养的发展历程
2014年，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，提出“研究制定学生发展核心素养体系”。2015年，马云鹏教授指出，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版数学课标”）中提出的10个核心概念，从严格意义上讲，表述为“概念”并不合适，它们是思想、方法或者关于数学的整体理解与把握，是学生数学素养的表现。因此，把这10个核心概念表述为数学核心素养是恰当的。2016年，教育部公布的《中国学生发展核心素养》明确提出“学生发展核心素养”是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展所需要的必备品格和关键能力。2017年修订完成的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“2017版高中数学课标”）明确提出了“数学学科核心素养”，包括“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”，同时提出将“三会”作为提升学生数学素养的指导思想。2022年，数学新课标明确指出，“数学课程要培养的学生核心素养主要包括三个方面，分别是会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界（即‘三会’）”。至此，数学核心素养正式进入义务教育数学课程标准。
（二）数学核心素养的基本内涵
数学核心素养的内涵包括它的构成与主要表现，其构成就是“三会”，与核心素养的主要表现是密不可分的。可以说，主要表现是“三会”的具体化，而“三会”则是主要表现的内在依据。新课标指出，小学、初中、高中的数学核心素养是一致的，都是“三会”，其主要表现也是一脉相承的，具有整体性和一致性，但也有一些区别，不同阶段有不同表现，所以又具有阶段性（具体可参见表1）。由此可见，从小学到初中再到高中，数学核心素养的表现不断抽象和加深：小学阶段更具体，更侧重意识；初中阶段倾向于一般，更侧重观念、能力；高中阶段则更为抽象和一般化。譬如，小学阶段数学眼光方面的数感、量感、符号意识，到初中都合并为抽象能力，到高中则再上升为数学抽象。这其实体现出了数学核心素养表现的阶段性和进阶性。
具体而言，“会用数学的眼光观察现实世界”旨在引导学生通过数学的眼光来发现现实世界中的数量关系和空间形式，并通过抽象使之数学化，从而能发现和提出有意义的问题，并用数学的方式加以解决。在义务教育阶段，数学眼光主要表现为抽象能力（数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念和创新意识。“会用数学的思维思考现实世界”旨在引导学生通过数学的思维方式来建立数学对象之间、数学与现实世界之间的联系，并通过数学运算、逻辑推理等数学的思维方式来分析和解决数学和现实问题。数学思维在义务教育阶段主要表现为运算能力、推理意识或推理能力。“会用数学的语言表达现实世界”旨在引导学生通过数学语言简约、精确地描述现实世界中的数量关系与空间形式，通过数学语言建构现实世界的数学模型，通过数学语言描述现实世界的现象等，从而用数学的表达来描述问题、做出决策、解决问题。在义务教育阶段，数学语言主要表现为数据意识或观念、模型意识或观念、应用意识。值得注意的是，“三会”的三个方面是不可分隔、不可孤立的，它们是一个统一的有机整体。数学眼光、数学思维、数学语言的发展相互融通，指向学生终身发展的正确价值观、必备品格和关键能力。
二、课程目标视角下的数学核心素养及其培养路径
（一）课程目标演变中的数学核心素养
对比几次课程总目标的表述可以发现课标内容有两次重大改变：一是从“双基”“两能”到“四基”“四能”的突破；二是从“四基”“四能”到“核心素养”的飞跃。
1.从“双基”“两能”到“四基”“四能”的突破
2001年版的数学课标在课程总体目标的表述中虽然也提到了数学活动经验和数学思想方法，但主要还是强调“双基”，同时还强调了“两能”。“双基”是基础知识和基本技能，“两能”是分析和解决问题的能力。2011年版数学课标则明确提出了“四基”和“四能”。“四基”是指基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，“四能”是指发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
（1）从“双基”到“四基”的内涵意蕴
从“双基”到“四基”的变化是在保留了基础知识、基本技能的基础上增加了基本思想和基本活动经验。也就是说，数学课程需要培养学生的“双基”，但仅仅有“双基”是不够的。马云鹏教授在访谈中谈道，“从‘双基’到‘四基’是多维数学教育目标的要求”。基础知识和基本技能是显性的、可教的、可测的。然而仅仅关注这两基，则会忽视其他也很重要的隐性的方面。所以2011年版数学课标明确提出了“四基”，把基本思想和基本活动经验放到了与基础知识和基本技能同样重要的地位，这是非常正确而且重要的改变。数学教育的目标不能仅仅停留在学生对知识技能的理解和掌握上，它应该更加多元，更加关注学生长远的数学发展。黄翔等学者指出：“数学基本思想、基本活动经验是学生在学习过程中获得的主观性体验与感悟，它们与‘双基’互补，能克服单纯的‘双基’目标过于表层、追求熟练、缺乏对数学本质理解的弱点。”数学基本思想和基本活动经验无疑是能根植在学生头脑中的隐性的但对学生有长远影响的数学素养。
（2）从“两能”到“四能”的深层逻辑
2001年版数学课标强调的“两能”是指分析问题和解决问题的能力，这是基于数学教育中对“问题解决”方面的目标和要求提出的。2011年版数学课标则在“两能”的基础上进一步拓展，提出了“四能”，也就是增加了发现问题和提出问题的能力。这个变化是非常重要的，有着它的深层逻辑。学生的数学能力不仅表现在拿到问题能分析、解决它，还需要有数学的神经、有发现问题的眼光、有提出问题的能力，这是关乎学生创造力的更加高阶的要求。如果学生仅仅做到了分析和解决问题，那他们也就只是问题的操作工、问题的解决者。如果学生不仅有分析和解决问题的能力，还有发现和提出问题的能力，那就能用数学的眼光观察现实世界，从现实世界中创造性地发现数学问题，用数学的语言提出现实世界中的数学问题，进而再抽象出数学模型，进一步分析和解决问题。
2.从“四基”“四能”到“核心素养”的飞跃
由此可见，2011年版数学课标明确提出“四基” “四能”是非常合理、科学和必要的，而且已经蕴含着“数学核心素养”的影子。2022年版数学课标在2011年版课标基础上提出“数学核心素养”，同时保留“四基”“四能”。由此足见，“四基”“四能”是数学课程目标的合理内核。数学新课标保留了这一合理内核，在这合理内核的基础上进一步提出“三会”。“三会”的表述不仅呼应了中国学生发展核心素养的总体要求，而且对通过数学课程培养的学生核心素养进行了生动、准确、科学的描述。这一改变，其实是在2011年版数学课标合理内核基础上，用“三会”来统领“四基”“四能”，同时对“四基”“四能”提出了更高的要求。“四基”“四能”是发展学生数学核心素养的有效载体，也就是通过“四基”“四能”等目标的达成来进一步达成“三会”目标。“三会”对“四基”“四能”的统领和更高要求体现在“在发现和提出问题的同时要会用数学的眼光观察现实世界，在分析问题的同时要会用数学的思维思考现实世界，在用数学方法解决问题的过程中会用数学的语言表达现实世界”。
（二）课程目标视角下数学核心素养的培养路径
通过上面的分析可以看出，数学新课标的课程目标是以学生数学核心素养的发展为导向的，也就是要以“三会”来统领“四基”“四能”。怎样落实新课标在课程目标中提出的要求，怎样培养和发展学生的数学核心素养，是所有数学教育工作者需要思考和研究的问题。基于对新课标的研读和思考，我们认为，义务教育阶段学生数学核心素养的培养路径应从真实情境出发，让学生完整经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程。这一过程不仅要充分展开，而且还要指向学生的数学核心素养。
在这一过程中，应该围绕数学核心素养的表现让学生充分经历数学化的过程，从而促进基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验等目标的达成，最终发展学生的数学核心素养。同时，评价也要围绕数学核心素养来展开并贯穿始终。
三、新课标原教材背景下培养学生数学核心素养的有效策略
（一）创设真实情境
数学新课标在课程理念中明确指出，“引导学生在真实情境中发现问题和提出问题”。同时，数学新课标还在核心素养、课程目标、课程内容、教学建议等多处提出要创设真实情境。情境对于学生的数学学习来说非常重要，它是沟通数学与现实世界的桥梁。数学新课标强调“真实情境”，就是要让学生体会数学与真实世界的联系，数学来源于真实世界又应用于真实世界。让学生经历从真实情境中发现问题和提出问题的过程，其实就是对学生数学眼光的培养。真实情境能引导学生用数学的眼光观察真实世界，从真实世界中抽象出数量关系和空间形式，从而发现并提出数学问题。从真实情境中发现、提出问题的过程也是学生创新意识的体现，能够促进学生主动参与数学学习。
“真实情境可以从社会生活、科学和学生已有的数学经验等方面入手，围绕教学任务，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材。”譬如，针对“百分数”，数学新课标把它从“数与代数”移到了“统计与概率”。教师可以结合“百分数”作为一个统计量的特点和学生真实的生活经验来选择合适的素材，由此创设出如“派哪位球员参加罚球投篮比较合适”的情境。
首先，这一情境是真实的，是学生在学习、生活中常常接触到的、比较熟悉的；第二，这一情境突出了“百分数”作为统计量的本质属性；第三，这一情境能引导学生主动思考，用数学的眼光来分析这一问题，要解决选谁罚球的问题其实就是要解决谁投得最准这一问题；第四，在分析和解决谁投得最准这一问题的过程中，学生能逐步认识百分数、理解百分数、计算百分数、比较百分数，同时积累丰富的数学活动经验；第五，这一情境能引导学生通过数据分析做出合理的决策，不仅体现了百分数作为一个统计量的价值，还能进一步培养学生的数据意识和应用意识。
（二）亲历数学化
“与其说学数学，倒不如说学习数学化。”数学化其实就是“现实世界—数学内部充分展开—现实世界”的全过程。在中小学生的数学学习过程中，数学化就是学生从现实世界中抽象出数学问题，然后完整经历数学的学习和研究活动，最后解决问题并应用于现实世界的全过程。学生只有亲身经历这样的数学化全过程，才能在学习和研究过程中获得“四基”“四能”，发展数学核心素养。无论是基本思想的形成，还是基本活动经验的积淀，抑或是数感、量感、符号意识等的培养，都离不开学生积极、主动地参与、实践、思考和建构。所以，数学核心就是学生经历完整数学化后所积淀和升华的产物。
众所周知，数学新课标在数学核心素养的具体表现中比2011年版数学课标的核心词新增了“量感”，“量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知”。譬如，就“面积单位”的教学而言，第一，以学生熟悉的贴纸为素材创设真实的测量情境。用小长方形、小正方形、小圆片等不同的小纸片密铺后去量，得到的结果不同，从而引发认知冲突，引导学生理解统一度量单位的必要性。第二，在认识“平方厘米”这一面积单位时，进一步引导学生在测量情境中发现和提出数学问题：1平方厘米是什么？1平方厘米有多大？认识了1平方厘米有什么用？等等。第三，围绕问题开展认一认、找一找、量一量、估一估等一系列数学活动，让学生完整经历认识1平方厘米、寻找身边的1平方厘米、用1平方厘米的小正方形量物体表面或图形的面积、估一估物体表面或图形面积这些活动的全过程。在这一过程中，学生不仅认识了1平方厘米，在头脑中建立起1平方厘米的表象，还会用1平方厘米的小正方形测量、估计物体表面或图形的面积，从而发展关于面积单位“1平方厘米”的量感，积累丰富的学习、探索的活动经验。第四，迁移认识平方厘米的经验来认识平方分米和平方米。第五，结合现实生活，灵活运用平方厘米、平方分米和平方米。
这样的教学其实就是引导学生亲身经历数学化的全过程，让学生从现实情境中发现和提出数学问题，然后充分经历认、找、量、估这样的数学活动来分析和解决问题，让学生的思维充分展开，获得基础知识、基本技能，积累活动经验的同时发展量感，最后把所学运用于现实世界。
（三）评价贯穿始终
数学新课标在评价方面做了大刀阔斧的改革，提出了学业质量标准，建立了指向核心素养的多元评价体系，推进了考试命题的改革。评价对学生学习和教师教学都是至关重要的，好的评价能激励学生学习、改进教师教学。由此可见，在教学中要充分关注评价。评价应该发生在数学课堂教学活动的每个环节，评价可以帮助教师了解学生在“四基”“四能”以及核心素养发展方面的情况，及时调整教学活动；同时也可以帮助学生了解自己的学习情况，从而促进他们调整自己的学习方式或者把新知纳入自己的知识结构中。
数学新课标如此重视评价其实也反映出我们原来的教学对评价关注不够。其实，没有评价就没有反馈，没有反馈就无法判断。在新课标原教材背景下，一线教师要高度重视评价，在课堂上要做到眼里有学生，及时根据评价来调整课堂教学，把评价贯穿始终。
首先，在教学设计时就要有对教学设计的评价。教师要反思和追问自己：学生的认知起点在哪里？这样的设计是否合理？这样的活动是否可行且高效？这些活动是否指向学生数学核心素养的发展？等等。这样的课前评价能让教学设计更加符合教学目标，指向学生的核心素养。其次，在课堂教学的每个环节也需要评价，而且要注意评价方式的丰富性、评价维度的多元性和评价主体的多样性。评价方式的丰富性体现在可以用多种方式评价学生的学习情况，比如观察学生参与数学活动的情况、倾听学生课堂上数学语言的表达情况、用练习或操作判断学生知识技能的掌握情况、关注学生在核心素养方面的达成情况等。评价维度的多元性就是评价要关注“四基”“四能”、核心素养表现等方方面面。评价主体的多样性表现在评价不是教师的“一言堂”，学生自身还有同伴之间的评价对学生的学习也是非常重要的。最后，在课堂教学结束后仍需要方式丰富、维度多元、主体多样的评价。
这样贯穿始终的评价不仅关注学生学习的结果，也关注学生学习的过程，是指向学生数学核心素养发展的评价。
学生数学核心素养的发展并不是一蹴而就的，它是一个长期的过程，需要学生在一天天有效的数学学习中进行积淀。在新课标原教材背景下，一线教师要用新课标理念来指导数学教学，把握好与学生共同学习、成长的每一节课，促使学生的数学核心素养在每一节数学课、每一个数学活动中拔节生长。
作者简介：陈 蒨 徐文彬 南京师范大学课程与教学研究所
本文摘自：江苏省中小学教学研究项目“教师研究的理论思考与模式建构”（2021JY14_L390）的阶段性成果。
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