《一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》教学设计

目  标

1.认识一次一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，会用函数观点解释方程和不等式.

2.经历用图像表示方程和不等式的过程，进一步体会“以形表数、以数释形”的数形结合思想.

重难点

从数形两个角度理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系.

教师活动

学生活动

补充说明

教师板书：（1）2x＋1=3；

（2）2x＋1=0；  

（3）2x＋1=－2.

问题1  你看到了什么？

追问1  你还能看出什么？

追问2  你能从函数的角度对解这3个一元一次方程进行解释吗？请分别具体说一说.

追问3  请构造一个新方程并加以解释.

追问4  还可以从函数的什么角度进行解释？画出图像并加以解释.

追问5  请构造一个新方程，并根据图像进行解释.

追问6  你能从函数“数形”两方面的角度对解一般的一元一次方程kx＋b=c(k，b，c为常数，a≠0）进行解释吗？

一元一次方程

一次函数y=2x＋1（小组讨论达成共识）

生1：解方程2x＋1=3相当于在一次函数y=2x＋1的函数值为3时，求自变量x的值；

（教师板书）

生2：解方程2x＋1=0……

生3：解方程2x＋1=－2……

生4：解方程……

生1：解方程2x＋1=3相当于在一次函数y=2x＋1的图像上取纵坐标为3的点，看它的横坐标是多少；（教师板书）

生2：解方程2x＋1=0……

生3：解方程2x＋1=－2……

生4：解方程2x＋1=……

通过画虚线，看到纵坐标为c的点的横坐标，这个横坐标是一元一次方程kx＋b=c的解.

数：解方程kx＋b=c相当于在一次函数 y=kx＋b的函数值为c时，求自变量x的值；

形：解方程kx＋b=c相当于在一次函数 y=kx＋b的图像上取纵坐标为c的点，看它的横坐标是多少.

本章学习的主要内容是什么？

根据这三个方程你能不能看到函数？看到什么函数？

它的表达式是什么？

你是怎么看到的？

这是从函数“数”的角度解释.

本章我们重点研究了函数的图像，所以我们还可以从图像，也就是从“形”的角度对解这3个一元一次方程进行解释.

使用双色笔，示范或引导学生自主用虚线根据已知纵坐标取点，再用虚线确定横坐标，并解释.

由特殊到一般，一次函数的一般形式是什么？

在形如y＝kx＋b的图像上取纵坐标为c的点，你就能看到什么？怎么看？

这个横坐标是哪个方程的解？

总结  一元一次方程一次函数解一元一次方程

教师板书：（1）2x＋1＞1；

（2）2x＋1＜0；

（3）2x＋1＜－1.

问题2  你又看到了什么？有没有函数？你怎么看到的？

追问1  你能从函数的角度（数、形两方面）对解这3个一元一次不等式进行解释吗？

追问2  请构造一个新不等式，并根据图像进行解释.

    追问3  你再从函数“数形”的角度对解一般的一元一次不等式kx＋b＞c（或＜c）进行解释？

一元一次不等式、一次函数y=2x＋1

生1：解不等式2x＋1＞1相当于在一次函数y=2x＋1的函数值大于1时，求自变量x的取值范围；或相当于在一次函数y=2x＋1的图像上取纵坐标满足大于1的点，看它们的横坐标满足什么条件；

（教师板书）

生2：解方程2x＋1＜0……

生3：解方程2x＋1＜－1……

生4: 解不等式2x＋1＞……

数：解不等式kx＋b＞c（或＜c）相当于在一次函数 y=kx＋b的函数值大于（或＜c）时，求自变量x的取值范围；

形：解不等式kx＋b＞c（或＜c）相当于在一次函数 y=kx＋b的图像上取纵坐标满足大于c（或＜c）的点，看它们横坐标满足什么条件.

类比问题1探索并归纳不等式与函数的联系便水到渠成.

指导学生使用双色笔描出相应部分图像及x的取值范围，并强调固化这种方法.

总结  一元一次不等式一次函数解一元一次不等式

例1  画出函数y=2x＋4的图像，并根据图像写出下列方程的解或不等式的解集：（1）2x＋4=6；（2）2x＋4＞6；（3）2x＋4＜6.

学生画图，并使用双色笔加以解释.

要求学生从函数“形”的角度对解一元一次方程或一元一次不等式进行解释.

例2  如图，函数y₁＝k₁x＋b₁和y₂＝k₂x＋b₂的图像交点坐标是（1，2）.

x取什么值时，y₁＝y₂？ y₁＞y₂？

y₁＜y₂？

学生先用虚线确定图像交点横纵坐标，并使用双色笔加以解释.

要求学生能够自主从函数“数形”的角度对解一元一次方程或一元一次不等式进行解释.

课堂小结：谈谈本节课的收获.

本节课打通了三个相对独立的数学模型，使得它们联系更加紧密.从函数的全新视角，数形两个方面对方程、不等式进行再认识，带来的是看待问题的深度、高度的变化，让我们的数学学习更加融汇贯通.