解题研究心得

2018/12/4 23:11:26 人评论次浏览分享分类：成果展示发布人：黄秀旺

从解题中感悟

江宁区麒麟初级中学谢蓓蓓

2018年8月5日至8月6日，我和南京市黄秀旺名师工作室的其他成员来到珍宝假日酒店参加特级教师于新华的“中考数学解题研究”的活动。来自全国各地的700多名老师让诺大的会场显得格外拥挤，虽然活动的时间不长，可是16个实用巧思的专题，82道精挑细选的题目让我在烧脑的同时从全新的角度去看待熟悉的问题。会议结束之后，我好好整理了于特的“宝典”，有了以下一些想法：

一、从书本生长，创造背景

于特说的让我印象最深的一句话是“想有背景，解不超纲”，这也让我不禁感慨这句话背后的价值。第一个“12345的秒题技”的专题就让我大开眼界，闻所未闻的公式让我在瞬间“秒杀”了很多以前难以解决的问题。无论是“矩形大法”、“相等性质”、“直径性质”还是“纵横比”、“于函定理”等“新知识”的横空出世都让我感觉在解决问题的过程中十分简洁、干练，那是因为于特给我们创造了“直达”的背景。而这些背景全部是从教材上常见的知识以及平时解题的经验中产生的，它的生长点并没有那么玄妙，只是于特的深入思考、探究给予了这些知识经验全新的生命，让它们摇身一变，变成了解决问题的万能钥匙。而在这些思考背景的背后，加上“假惺惺”的常规解法，就能从一个绝妙的角度直击问题的心脏，快速解题。而打造这把钥匙的背后一定是辛苦的汗水和思考的智慧。

二、从解题生成，欣赏数学

从卜特的数次讲座中，我感受到了学习数学与生活规律、做人道理息息相关。而于特却在我在解题的过程中发现了数学的美。一道解三角形的问题让我认识了三边长分别是“3，5，7”的钝角三角形，7所对应的角是120°，三条边长3，5，7是连续的奇数更是连续的质数。而通过“进退自如”得到的“8，3，7”和“8，5，7”这两个三角形不仅7所对角的角都是60°，而且其中也体现着数学的模型思想。另外，随着“1，2，3，4，5”公式的推进，于特转身在黑板写下“1+2+3=180°、1+=90°”两个等式，“1，2，3，4，5”公式里藏不住的美让在座的老师们爆发出掌声和惊叹声。还有圆锥、抛物线、双曲线、圆、椭圆的亲子关系，直角拐弯时信息的自然传递无不让人在认知、解法、模型中为数学的美好陶醉。

两天的活动是短暂的，可我的收获却是满满的。之前在遇到中考的压轴题时，我就会望而生畏，感觉无从下手，不过听了于特的讲座后却让我有一种想要带着新的学习经验去一探究竟的冲动。工作也快要十年，我有时也会迷茫恍惚，而于特对数学的热爱和对教学的坚持让我心存敬佩，同时这也在提醒着我不忘初心，砥砺前行！

想有背景，解不超纲，思有方向，教无定法

江宁区禄口初级中学张俊

8月5---6日，特级教师于新华为我们带来了专场数学大餐。这是一场前所未有的头脑风暴，虽遭受了于特的一万点暴击，却依然乐此不疲的享受着美妙的数学时刻。听他的讲座，让人感觉极有收获。即使你数学零起点，也能听出数学味道；即使你数学登峰造极，也能让你思索片刻。他能从数学根部挖掘本质，从数学顶部延伸、发散。没有高谈阔论的言语，只有通俗易懂、深入浅出的干货。是一位有数学情怀、数学情趣的高人。不仅见识了很多秒杀技能，他的幽默和文采、对数学的热爱和深刻理解、敬业精神都感染者到会的每一个人。是热情的传授、由衷的分享、，自己的思考毫无保留的倾囊而授。即使嗓子哑了，也能尽可能的照顾到每一个人。这些都是值得我们学习的。

他的讲座里有紧贴教材的多个内容：解三角形的基本功、面积公式的绝妙推广、横纵比与垂直处理及增量巧设、矩形大法横空出世……这些内容平时在我们的教学中经常出现，这些题我们也经常遇见，但我们总是停留在就题论题的层面，就算是有所思、有所感，也是停留在表面，未能从数学根部挖掘本质。丧失了一次又一次的提升机会。如：我们只知K型图，却并不知矩形大法更绝妙；我们只知水平宽×铅直高求面积，却不知还有万能面积公式；我们只知道垂直时有相似和三角函数，却不知横纵比增量巧设更巧妙……还有很多很多我们忽视的，我想这些都是可以运用于我们的教学的。他让我们今后再遇到问题时，要“想有背景”，也让我们“思有方向”。

同时，他的讲座里也有一些使我们闻所未闻的内容：12345秒题技、抛物线的几何性质、于函定理、局部带动整体变化…..尤其是12345秒题技，让人印象深刻。这里出现的最多的词语就是“秒杀”，多么美妙有神奇的词语。

….这些从未听过的公式却那么神奇，真的可以秒杀好多难题，我想于特也让一些编题人既爱又恨呀！当然，你也不用担心这些定理的真实性和实用性，因为它进退自如，倍角进（延长）、半角退（截取），证明和使用时要注意垂直拐弯很重要，真正实现了定理的灵活使用，让人感叹之余倾佩之情油然而生。这样，他的讲解就真的体现了“解不超纲”的原则，也让我们真的明白“教无定法”，教学没有最好，只要更好，学无止境。

“想有背景，解不超纲”是于特贯穿始终的原则，整个学习过程之后，让我明白“思有方向，教无定法。”于特的讲座内容非常充实，还有很多一知半解甚至完全不明白的地方。一同学习的老师们有很多整理笔记、讨论例题、理清思路，这样就会有更多的收获，我想这也是我接下来需要完成的工作。只有再次投入到数学海洋中，才能更好的消化这12道美味大餐，才能让自己的思考更有方向性，将于特的数学精神与自己的教学紧密结合，实现教无定法，贵在得法的目标。

享受一场“庖丁解牛”的盛宴

南京市文枢初级中学庄严

八月的南京，天气喜怒无常，一会儿烈日高照，瞬间倾盆大雨，整个南京城就像盖上了一层棉被，出门就大汗淋漓。在这样的日子里，能有幸跟着于新华特级教师在数学的题海中遨游，让我脑洞大开，同时也被于特的高瞻水准折服，决定成为于特的粉丝。

这次讲座分两天进行，于特精挑细选82题覆盖16个专题，容量虽大，但题题都是精华，闭塞的我不敢有任何怠慢，紧跟于特的思路，感觉自己回到了学生时代，不停地记录、不断地思考，品味着于特独特的见地，不由感叹大师的潜心研究、运筹帷幄和高瞻远瞩。

一、既有通性通法，又有独树一帜

“矩形大法横空出世”是我们平时在课堂中也会提及的基本方法，但是也只是交给学生在已知图形中识别“K”形图，构作用的很少，基本不会提及，于是我也只是研究到这个层面，但是讲座中，于特挖的更深，让我看到了平时浅尝辄止的“K”形图能横扫一片题，正如于特含在嘴边的一句话“垂直拐弯”才能把已知条件激活，一语中的，这才是“K”形图研究的最大价值。“趣谈12345秒题技”和计算力息息相关。平日我们要求咱们的学生要有较强的计算能力，这也是数学人的基本素养，但是我们老师也许忽略了我们自身这项技能的培养，同时数学中有很多美妙的数字等式，这些等式能为我们的解题提供便捷，细细研究会看到不一样的天空。于特向我们展示了美丽的数字等式、被我们忽略的美丽天空，这也就是于特独特之处，善于发现、善于思考、一探究底的精神。

二、既有严谨思路，又有妙语连珠

对待数学内部的逻辑推理，于特环环相扣，不留一丝漏洞，这是数学人的严谨。但于特也是风趣幽默之人，妙语连珠，让讲座有趣生动。“巧设增量”、“轰然倒塌”、“享有背景，绝不超纲”、“补美”、“上下灵活，灵活自如”、“水平宽，铅锤高”、“绝妙解法”、“秒杀”、“纵横比”、“原路返回”、“第三者”、“毛坯”、“于函定理”、“进退自如”、“黑科技”、“秒题技”、“秒杀结果”、“秒杀过程”等等。熟练于心，庖丁解牛之技，让人叹服，吸引眼球。原本对于每年各地中考题压轴题我一直都有畏怯心理，但是经过这次讲座，让我产生了兴趣，有着想带着于特的宝典，去一探究竟的冲动，这也许是我最大的收获，增添勇气、重拾兴趣。

三、既有研究品质，又有仁爱之心

“讲题”作为老师，我们都很明白是最辛苦的一件事情，能把听众讲明白，能和听众产生共鸣，能赢得听众的掌声更是一件最最辛苦的事情。于特晓之以情，动之以理，有时把自己的成果和我们共享，于特会看见有的老师眉头紧锁，于特会停下来再讲一遍，直到眉头舒展，才会继续。就因为这样，讲座进程比较缓慢，于特也会“拖堂”，为的是老师能够多学一学好的方法、精的思想，可谓良苦用心。从研究的角度，于特是绝对的大师级，让人敬仰，但讲台上的他，让我看到的朴实无华、辛勤奉献的教育者，其间当然流露着教师的仁爱之心，这种气场感染着全场的每一位，所以700多人的会场非常安静，大家都在欣赏于特的大家风范。

两天的学习是短暂的，但满满的笔迹值得我潜心研究好久。于特的16个专题给了我一个框架，也指明了方向，学到的仅仅是于特的冰山一角，想运用自如，当然需要大量实践，在实践中才会更深刻地体会到微妙之处。作为于特的新粉，当然要有于特撰写的书籍，已经购买，细读、品味是我接下来的计划，期待下一次于特的讲座。

居高临下触类旁通

江宁区天景山中学王瑞

2018年8月5日至8月6日，我参加了在南京举行的解题研究现场会。主讲人是江苏省特级教师于新华老师，于特通过对82道例题的分析，和我们分享了他总结的重要解题经验。例如“12345解题法”、“增量巧设”、“横纵比”、“矩形大法”、“于函定理”等，原来解题可以这么“简单”，使我大开眼界。

给我印象比较深的一个专题，就是关于三角形的面积公式的“再思考”。

如图1，显然S_△_ABC=2(1)AD·BC；如图2，如果E点在线段BC上，那么S_△_ABC=2(1)AE·?；如图3，S_△_ABC=S_△_ABE+S_△_AEC=2(1)BE·BK+2(1)EC·KF=2(1)AE·BF，非常直观；那么点E若在BC的延长线上呢？如图4，S_△_ABC=S_△_AEC－S_△_ABE=2(1)AE·BF，上述结论成立；如图5，S_△_ABC=S_△_ABE－S_△_AEC=2(1)AE·BF，结论仍然成立。也就是说，以线段AE为底，构造高，利用两三角形面积的和或差进行推导得证。

进一步思考，如图6，S_△_ABC=2(1)BC·AD，那么S_△_ABC=2(1)CD·?；根据上面的经验不难发现，如图7，S_△_ABC=2(1)CD·BH。利用这个结论，于特带领我们“秒杀”了很多中考题，令人叹服。

回顾两天的学习，收获很多，作为一名数学老师，当然离不开解题，是否会解题，解得是否自然快速那就离不开平时的研题，归题。要通过解题发现一类题的“共性”，不仅要将这些题进行整理，还要提炼出解决这类题的“黑科技”，学习于特对数学解题研究的执着精神，让解题成为一种乐趣，一种生活。

想有背景解不超纲

六合励志学校孙德萍

2018年8月5~6号，我有幸参加了“特级教师于新华中考数学解题研究”专场讲座，两天的时间，于特一共给我们带来了16个专题，听了于特的讲座，真的收获颇多，现主要就第1个专题：“趣谈12345秒题记”，谈谈我的一些感悟.

我想学习任何知识如果没有消化吸收为自己的，过一段时间就很容易忘记了，所以真正搞清楚真的很重要.于特由一个勾3股4弦5的直角三角形入手，总结出以下几个结论：

等

意思就是：若；；

那我就想能不能再得到一个更一般的结论呢？

若，那么又会是多少呢？

我就尝试用于特的“矩形大法”和“直角拐弯”，画出下面的图形，

从而得出这个公式：

用它验证上面于特的结论如下：

；

但是这个公式有局限性，即这两个角的和要小于90°.

总之，这次的学习让我对解题有了新的认识，对于其他的专题，我后面还得花时间慢慢消化吸收，尽量学以致用.

研究基于情怀，提高唯有积累

江宁区周岗学校徐亮

8月5日－6日参加了“中考数学解题研究”活动，聆听了于新华老师的专场解题讲座，不禁对于特这种烧脑般的培训有了强烈的期待。初次听于特的讲座是在怡康街分校，黄特培育站的学习活动中。当天于特的小型讲座很快就结束了，“矩形大法”、“K形图”……对这些技巧的运用只有一点模糊的印象，似懂非懂。这次的学习系统且有针对性，“想有背景、解不超纲、上下贯通、灵活自如”的十六字解题主张，十六种解题技巧和众多中考压轴题秒杀思路，在带来了头脑风暴的同时，也引发了我对数学教学研究的深思。

数学研究基于执着的情怀。很难想象，像于特这些大师们，对于全国各地中考原题信手拈来的背后，付出了多少的艰辛。想想自己，每年中考过后，都习惯于研究江苏省十三市的中考题，希望可以及时了解命题的方向。而大师们却乐于研究各地中考题，对于各种中考题，可以研究到极致，变式加拓展，理论加实践，这是他们执着的数学情怀，而这种情怀正是我们所缺失的。这种执着会引领着我们去不断攀登数学高峰，一览众山小，这种情怀能激励着我们去克服艰难险阻，感受不一样的数学风景。

数学教学还需更深地理解。日常的教学，我们习惯忙碌于批阅学生的作业，忙碌于学生的查漏补缺，看似努力地付出却带来低效的呈现，让我们倍感疲倦。我们在意于对学生数学知识的增长，忽视了对学生思想方法和思维方式的培养，更忽视了自身数学素养的提升。于特的讲座，让我们对符号意识、空间观念、几何直观、模型思想……这些熟悉的名词，有了更深层次地理解。只有我们自己深入地去研究数学，不断地提高自己的数学境界，才能更好地理解数学，实现教学的“逻辑连贯”，更好地引导学生通过解一题而会一片，实现从“学会”到“会学”，扭转教学的低效局面。

数学能力的提高唯有不断地积累。“12345”、“纵横比”、“增量巧设”、“捆绑旋转”……于特这些解题技巧的产生，不是一朝一夕能产生的，也不是灵感突现迸发而出的，正是于特多年来对解题的持续思考，多年来研题的不断积累，才能形成今天的如此成果。正如黄特所说，一个没有解题习惯的数学老师很难成为一名优秀的数学老师，我们需要这种积累，有了这种积累，真正的学习才会发生。不禁对于特下次的讲座，有了更大的期待。

纸上听来终觉浅，绝知解题要躬行

南京市上元中学吴琨

有幸参加为期两天的由江苏省特级教师于新华做了《中考数学解题研究》的专题讲座。讲解了“12345秒题技；增量巧设；垂直处理；面积技巧；捆绑旋转；倍角半角；矩形大法；”等专题。于老师现场示范，亲自指导，带领我们体会如何理解题意，如何破解难点，如何秒杀压轴题，通过听讲与实践，迅速掌握各种问题的解决技巧，让我们全神贯注，沉醉于各种奇思妙想的解题技巧之中。

“解题要追求的境界：想有背景，解不超纲，上下贯通，灵活自如”。这是于老师的开场白，作为江苏省特级教师、全国知名数学解题专家、网络风云人物的于新华老师，在解题研究方面，有着多年研究的功底，尤其对中、高考数学解题的研究，风格鲜明，不走寻常路，让人聆听讲座后耳目一新。于老师在两天的讲座中始终站在一定的高度，从思维角度，对许多小专题进行了精彩的展示，分析最基本的思维动作，很多小专题精彩纷呈，深入浅出，让人获益匪浅。讲座中于老师妙语连珠，知识渊博，让我们深刻感受了数学的价值、数学的美，同时体会到做数学题的最大乐趣，来自全国各地七百多名一线老师自始至终认真聆听于老师的精彩报告。

我通过本次讲座直观感受到于特数学功底非常深厚，数学视野十分开阔，教研经验极其丰富，解题能力特别强；心系数学文化，有一种别样的数学情怀。从讲座中对于中考问题研究可窥见一斑。他的确定性思想、因果分析法，让我们回归到解题的本真，理会到思路自然生成的美妙。解题时，于特总是跳出常人的思路，解开惯性的禁锢，打破思维的藩篱，从另一种高度，从另一种视野，审视解题的突破口和自然生长点，给人眼前一亮，然而所有的思路又是那么顺乎其然，规避了“蓄意”构造的伤害。其立意之高，道法之深，构思之巧，解法之妙，意蕴深长，耐人寻味，令人拍案叫绝。

于特一直强调追求这样地境界也是我们一线教师的追求。著名数学大师华罗庚曾说：学数学不做题目，等于入宝山而空返。著名数学教育家波利亚说：掌握数学就意味着要善于解题。无庸讳言，初中三年教学的成与败，将体现在学生中考两个小时的解题能力如何，因此数学教师加强中考数学解题研究，有着极其重要的现实意义。本人就以下几点浅见谈谈感受。

1.解题要得法

无论是新授课还是复习课中，学生对数学解题的思考方法、路径掌握显得尤为重要，方法是有效数学思考、解题的前提与保证，“好方法”更是走向“高效”的发展基石，而“高效”是我们解题的期待与追求.有时，我们会因为某一学生或同事的“奇思妙想”而拍案叫绝，但往往这样的“奇思妙想”不具有普遍性，不是解决一类题的套路，这里所说的“好方法”≠奇思妙想，我肤浅的认为要让大部分学生可体验、可操作，在比较优化中自觉选择，从而走向高效. 理解并形成技能更是解题教学的一种基本价值取向。在听完于特的讲座，被他的方法专题深入研究所震撼。我学到了：“最好的解法是自然生成，通法“保底”。”

2.解题先解心

由于本人所教学生生源参差不齐，学生多基础薄弱。很多时候认为学生出现解题错误，是学生的事情，与自己没有多大关系。但往往仔细分析学生的错误后，会发现在学生出现的错误中隐约可以看到自己在教学中存在的一些问题。比如在讲解新课时，不经意间传授了错误；在课程回顾时，无所谓中放走错误。这些错误虽然是无意出现的，但它给学生的负面影响是比较大的。所以，作为教师的我一定要引起足够的重视，治学一定要严谨，精益求精，不能让我们的这些“无意”给学生带来不必要的困惑。听完于特讲座后，我提出以下措施改进教学：

（1）构设错析课，增强改错的目的性。把学生一段时间以来学习某一部分知识所犯错误记录下来，分类整理，以备错析课之用。教学时首先有目的地给出错例，让学生指出错处，师生共同纠正。也可让学生独立练习，最后小结发生错误的原因。

（2）设制“陷阱”，提高改错能力。数学设“陷”，是针对学生由于对某些数学概念、法则、定理、公式等方面理解不够深透，而表现在判断、推理及解问题的方法上的失误现象，有的放矢地选编一些颇具迷惑性的题目，布设“陷阱”，借以考查学生对基本概念的理解和相关知识的掌握程度。学生在“落入”和“走出”误区的过程中，吃堑长智，得以提高。

（3）改革作业批改方法，增强自我评价能力。传统的作业批改方法就是正确的打“√”，错误的打“×”。从现象上看，似乎合情合理，但它不能激发学生对错误的警觉，不利于培养学生自我检查、自我评价的能力。本人在教学中采用了以下批改方法：“√”表示正确，“＿”表示答案不具体、不完整，不确切；“﹋”表示走了弯路；“⊙”表示要仔细，不能马虎等等，对上述几种符号不能表达的内容可写上具体有指导性的批语，以此强化学生认真、一丝不苟的学习态度。

（4）注意强调解题后反思，有些学生一味地追求做题的数量而不讲究做题的质量，做了大量的数学题，成绩却不见提高，严重影响了学习数学的信心。有的题型大量操练，而隐含的错误也重复的犯，有的错误甚至得到了巩固，形成了习惯性的错误，克服起来更加困难。解题后反思是优良的学习习惯，它不仅能发现错误，还能优化思维品质，提高学习效果。可见经过多种思考，可获得丰富的方法，扩大解题的收益。

大师的风采感染了与会的所有老师，对于老师也更加的钦佩！聆听于老师的讲座之后，我决心今后要向于老师学习，不断加强数学解题方面的研究，认真实践，努力专研，成为一名会思考、会学习、会研究的数学教师。

想有背景，解不超纲，上下贯通，灵活自如

南京市竹山中学刘晨

我去年购买了于新华的新书《中考16讲》，读了这本书让我有种在迷失中找到方向，或许我曾经解题积累了不少经验方法，但大部分很零碎，而这本书架起了大部分的方法与技巧。曾经很多时侯特别感觉有力无处使，有些难题有时会做了，有时想了好长时间依然无从下手，然而这本节却给我一个有用的抓手，或许又像一把自带剑谱的利剑。当你将这16讲的方法和技巧领会掌握时利剑出手，再无难题挡道！不过要将16讲内容完全消化掌握可真不是件容易的事情，自从前几天在《中考数学解题研究》专场聆听了于特的讲座后，再次感受到只有自己站得足够高，才能望得远！才能带领学生抵达山的顶峰！

虽然活动安排在南京炎热的8月，但依然阻挡不了大家对数学的热爱，来自全国各地七百多名一线老师自始至终认真聆听于特的精彩报告。于特现场示范，亲自指导，带领我们体会如何理解题意，如何破解难点，如何秒杀压轴题，通过听讲与实践，迅速掌握各种问题的解决技巧，让我们从“欣赏”到“学会”！

“解题要追求的境界：想有背景，解不超纲，上下贯通，灵活自如”。这是于特的开场白，作为江苏省特级教师、全国知名数学解题专家、网络风云人物的于新华老师，在解题研究方面，

有着多年研究的功底，尤其对中、高考数学解题的研究，风格鲜明，不走寻常路，让人聆听讲座后耳目一新。于特在这两天的讲座中始终站在一定的高度，从思维角度，对许多小专题进行了精彩的展示，分析最基本的思维动作，很多小专题精彩纷呈，深入浅出，让人获益匪浅：增量巧设、垂直处理、几何最值、矩形大法、图像性质、解三角形、面积技巧、几何变换、捆绑旋转、倍角半角等等都在他精彩的研究中熠熠生辉。

两天的讲座，于老师讲解与思考给我一种茅塞顿开的感觉。大师的风采感染了我，对于特也更加的钦佩！于老师的做法与思考解开了自己多年的教学困惑，收获相当大。两天四场的讲座，我就想个学生一样听得如痴如醉、如沐春风。真正的学习是发自内心的。数学大师精彩展现了其卓越的教学艺术和独特的解题智慧，让人受益匪浅。

于老师一直强调追求这样地境界：“想有背景，解不超纲，上下贯通，灵活自如”，这也是我作为一名一线教师的追求。今后我要不断地向于老师学习，不断加强数学解题方面的研究，尽快成为一名会解题、会思考、会研究的数学老师。

数学的教与学是千日工，不可一日放松，提高战略，加强战术，在今后的教学中能做到得心应手！

奇思妙想“黑科技” “秒杀”各类数学题

江宁区土桥初级中学马翠

2018年8月5日至6日我有幸参加了“特级教师于新华老师中考数学解题研究”南京专场，全国各地700多名数学教师汇聚一堂，目睹了大师的风采，两天的时间带给了我太多的震撼，见识到了于特的幽默，学习到了很多“黑科技”，掌握了一些“秒杀”数学题的技巧，虽然于特的“黑科技”有些还没有消化，虽然于特的“秒杀”技能还没有完全精通，但两天的学习给了我很多的反思和收获。

一、让人惊奇的“12345”秒题技

已知一个锐角的正切值，那么它的一半角或者它的倍角的正切值怎么做？正如于特所说的“半角倍角，进退自如”。

学习了“12345”秒题技，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题，而不必死掉过多的脑细胞.毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的.

二、让人喜爱的“矩形大法”和“K型图”

之前的“12345”秒题技实在是很精妙，运用于填空和选择还是非常有效的，但是如果是解答题步骤怎么写呢？这就是我们所要思考的如何做到“想有背景，解不超纲”，于是就有了“一线三直角”这样的基本图形，在此基础上优化构造出那个精妙绝伦的矩形，这就是网络上盛传的“矩形大法”，它的威力可是非常巨大的。

这是2015年浙江余姚的一道中考题：已知反比例函数y=x(k)的图像经过点 E（3,4），现请你在反比例函数y=x(k)的图象上找出一点 P，使∠POE=45°，则此点 P 的坐标为_____.

如果采用常规的思想方法来做会比较复杂，但运用矩形大法这道题就可以“秒杀”，构造如图所示的矩形OABC，则点F（7,1），由此可设点P（7m,m)(m﹥0),代入求解得m=7(2),因此P（2，7(2)），这里求出F（7,1），知tan∠FOA=P在射线OF上，所以增量巧设P点坐标为（7m,m）,将其代入解析式即可.

三、让人感叹的“局部带动整体变换”

初中数学有部分难题是涉及到“动”，动点、动线等问题，学生在处理这方面的题目非常的困难，往往不知从何下手，于特首先引入了2017年台州的一道中考题：在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA,若点P沿AB方向从点A运动到点B，则E点运动的路径长为多少？

这一道题绝大部分同学做题时眼里只有E点，会拼命的去想E点的运动轨迹是什么样子的，这就增加了这道题的难度。实际上这是一个平移运动，局部和整体具有一致性，E点的运动路径长实际上是C点的运动路径长，这样整道题就简化了。当然还有许多类似解答的题目就不意义例举了。所以在解决初中数学有关“动”的问题，“局部带动整体变化”是非常重要的一种思想。

本场讲座于特一共讲了十六个专题，还有很多的“黑科技”：面积公式的绝妙推广，双曲线的几何性质，抛物线的几何性质，通法探求几何最值……

两天下来，收获满满，也倍感打击，教了15年的初中数学，在解题方面自己总结的还是很不够，并没有学会去整理，我很庆幸参加这个活动让我认识到自己的不足，同时我非常渴望能够再次参加于特的讲座，不断学习，充实自己。

浅谈矩形大法

江苏省溧水高级中学附属初级中学杨绍平

2018年8月5~6日，南京市黄秀旺名师工作室成员在主持人黄秀旺老师的带领下，参加了在南京举行的“特级教师于新华中考数学解题研究”专场讲座。来自全国各地700多人参加了本次活动。两天的培训下来，我学到了很多，解题能力得到了一定的提高。这里我就以其中的一个专题《矩形大法》来谈一谈我的心得体会。

题目：（2014•南通）如图，抛物线y=－x²＋2x＋3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，设P为x轴上的一点，∠DAO＋∠DPO＝∠α，当tan∠α＝4时，求点P的坐标．

此题绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题。那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！

类似这样的问题不管小题，大题，其实在中考中是比较多的.现在的问题是，有些题目构思非常巧妙，但采用“因果确定法”思考，面临的困难就是：已知两个角的大小（边长刻画），最后只有在解决了这两个角的和或差的问题后，才能真正解决原问题.那么有没有既遵从原始的“因果确定法”的思考方法，又付出代价不大，同时还易于操作的解法呢？即如何做到“想有背景，解不超纲”呢？

这就让人开始思考从比值刻画一个角的大小，就得出现一个包含这个锐角的直角三角形。那么两个角呢？就必须出现两个直角三角形，最后还要有两个角的和或差的大小的比值刻画，即出现了第三个角，又必须出现一个含有这个和角或差角的直角三角形，这样就需要三个直角三角形.那么怎样才能沟通彼此联系呢？在平时的基本构图模型中有吗？于是想到了“一线三直角”这样的基本图形.在这些想法的基础上，朦朦胧胧地继续探求构造，最后终于产生了那个精妙绝伦的矩形——一下子全部满足了要求！

试想我们找到了 P 点，由下图可知，这里点 D（1，4），点 A(－1，0)都是确定的，所以tan∠DAO＝2 显然是确定的，α 的大小显然也是确定的，那么如果求出∠DPO 的大小，那么这道题目立刻就“土崩瓦解”了．

在形外可构如下图的矩形：

根据∠DPO=∠α－∠DAO，由图可知 tan∠DPO＝tan∠1=9(2)，而 DF＝4，所以 FP＝18，所以P 点坐标为（19，0）或（－17，0）.那么在原图上怎么构图呢？由点 D 坐标（1，4）不难发现图中隐藏的∠α，就是∠DOX，则可如下图构图：

利用平行关系可知 tan∠GDO＝tan∠DOX＝tanα＝4，在∠GDO 内部过点 O 作垂线构造 tan∠EDO＝tan∠DAO＝2 的直角三角形,所以两阴影的三角形的相似比为 1：2，则可表示出矩形FDGH 边上各部分线段长，可得 P 点坐标为（－17，0）再根据对称性得另一点坐标（19，0）

利用“矩形大法”也可以解释“12345大法”，如：

利用矩形大法解释“2(1)”＋“2(1)”＝“3(4)”（即：已知tanα＝2(1)，求tan2α），构造如图所示的矩形 OCDE，因为由相似知 tan∠BAD＝tan∠AOC＝2(1)，所以 BD：AD＝1：2，不妨令 BD＝1，则 AD＝2，两个三角形的相似比为 AB：OA＝1：2，所以 AC＝2，OC＝4. 可得 tan∠EBO＝tan2a＝3(4)。

运用以上技巧，可以很快解决许多有难度的中考题，于新华老师将之叫作为“矩形大法，横空出世”，在今后的教育教学中，我定会加强解题研究，寻求最佳解题方法，少让学生走弯路，提升自己及学生思维的深度及广度，进而提升教育教学质量。

趣谈“12345”秒题技，巧解三角函数问题

南京市上元中学朱平

2018年8月5号—8月6号，南京市黄秀旺名师工作室成员在黄秀旺老师的带领下来到了南京市珍宝假日酒店。在这里参加了为期2天的 “特级教师于新华中考数学解题研究专场讲座”专题培训。参加本次活动的有来自全国各地的特级教师，教研员，校长，以及近800名教师。本次活动以中考数学解题研究为抓手，以解题中运用“新概念，新方法”为中心，采取现场点拨和对比解题方法的形式，对教师的解题能力进行培训。两天的培训下来，我学到了很多新奇的解题方法，解题能力得到了提高。这里我就以其中的一个专题《趣谈12345秒题技》来谈一谈我的心得体会。