代数式中的“错”与“对”
蒋 敏
代数式可以简明地表示实际问题中的数量关系,也是表示数量变化规律的重要形式．代数式的概念、计算和应用是初中数学的重要基础，因此学好这个内容对以后的学习起着重要的作用．同学们在小学阶段对字母表示数已有了初步的了解，但对于字母参与的运算和应用理解不够，出错率高．下面整理了同学们在平时的解题过程中经常犯的一些错误，并就这些错误的成因和解决策略进行简单的阐述．
一、 错题汇集和分析
1. 书写不准
例1. 用代数式表示半径为3的半圆的面积．
【错解】π×32÷2
【剖析】本题考查的是文字描述与符号表示之间的转换，要注意代数式的表示和数字计算有所不同，需遵守一些书写规范．例如：(1)数字与字母相乘时,数字必须写在字母的前面；(2)“×”要改成“·”，“·”可以省略，除法必须写成分数形式等，这样显得简洁美观．
【正解】 eq \f(9,2)π或 eq \f(9π,2)
例2. 3a·4
【错解】3a·4=3·4a
【剖析】数字与字母相乘或字母之间相乘时，可以用“·”；但数字与数字相乘时，必须用“×”，不能用“·”，否则易与3.4混淆．
【正解】3a·4=3×4a=12a
2. 概念不清
例3. 代数式－23xy3的系数与次数分别是 ( )
A．－2，4 B．－6，3
C．－2，7 D．－8，4
【错解】系数是－2，次数是3+3+1=7，故选C．
【剖析】单项式的系数是单项式中的数字因数；单项式的次数是单项式中所有字母的指数的和，研究对象是字母，与前面的数字部分无关．因此，系数和字母应该分开看，不能混为一谈．
【正解】－23xy3的系数为－23，结果是－8．次数的计算方法是x的指数加上y的指数，即1+3，结果是4，故选D．
例4. 下列各组是同类项的是（ ）
A．2x2与3x3 B．a3与x3
C．2x2y与2xy2 D．23与32
【错解】A、C选项中相同字母的指数不同；D选项是两个常数，次数不同；B选项中的a与x看似不同，但因为字母能表示任意数，所以a与x的意义一样，字母的指数也相同，符合同类项的概念，故选B．
【剖析】判断同类项主要看是否满足两条特征：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也分别相同，两条缺一不可．在同一道题中，不同的字母代表不同的含义，因此B选项中的a与x是不同的，所以a3与x3不是同类项．要特别注意的是：所有的常数项都是同类项，我们在小学就知道所有数字可以相加，那是因为它们是同类的．
【正解】选D．
3. 理解不当
例5. 已知a是两位数，b是一位数，把a 接写在b的后面，就成为一个三位数．这个三位数可表示成__________________________．
【错解】因为b在前面,a在后面，所以答案为ba．例如a=12，b=3，那么把a 接写在b的后面是312，即ba．
【剖析】问题是要用一个代数式来表示这个三位数．而代数式有它自身区别于数字的书写规范．ba的含义是b×a，例如：当a=12，b=3时，ba=b×a=3×12=36，显然不合题意．因为3在百位上，所以312=3×100+12．同理，因为b在百位上，所以这个三位数可表示成b×100+a，即100b+a．
【正解】100b+a．
4. 算理不明
例6．3a+2b , 5y2－2y2这两个式子能化简吗？如果能，请写出化简结果．
【错解】能化简. (1)3a+2b=5ab，(2)因为5－2=3，y2互相抵消，所以5y2－2y2=3．
【剖析】几个单项式相加减，首先要先判断它们是否为同类项．若是同类项才能合并，否则不能合并．3a与2b不是同类项，所以不能合并．合并同类项时要遵循的依据是逆用乘法分配律ac+bc=(a+b)c．在合并时只需要把系数相加减，字母和字母的指数不变．计算时不能凭感觉做，要谨记算理．
【正解】3a+2b不能化简，5y2－2y2=3y2．
例7. a -（-b+c-d）=____________ ．
【错解】a -（-b+c-d）=a+b+c-d．
【剖析】去括号的法则是：当括号前面是“－”，去掉括号和前面的“－”，括号内的各项都要改变符号．错解只改变了括号里第一项的符号，没有全变号．去括号法则的依据是乘法分配律，－（－b+c－d）相当于是（－1）（－b+c－d），依据乘法分配律，（－1）（－b+c－d）= (－1) (－b)+ (－1) (+c)+ (－1) (－d.)= +b－c+d．
【正解】a－（－b+c－d）=a+b－c+d．
例8. 合并多项式4m3－3m2n－m3+2nm2－6+2m3中的同类项．
【错解】4m3-3m2n-m3+2nm2-6+2m3
=(4m3-m3+2m3) - (3m2n+2m2n)
=(4-1+2)m3- (3+2)m2n
=5m3-5m2n
【剖析】第一步是利用加法交换律,把同类项放在一起．在这个过程中要注意两点：（1)不能漏项（2）把同类项放在一起时，不能随意地添括号．错解漏了“－6”这一项，另外， 错解中－3m2n+2nm2= - (3m2n+2m2n)这一步有误，等号右边 - (3m2n+2m2n)=-3m2n -2nm2,与等号左边不等．因此，－3m2n+2nm2= - (3m2n-2m2n) ．如果需要添括号，要注意括号前的符号．若括号前面是“－”，则每一项都要变号；若括号前面是“+”,则无需变号．
【正解】解法1：4m3-3m2n-m3+2nm2-6+2m3
=(4m3-m3+2m3)+(-3m2n+2m2n) -6 (括号前添加号) =(4-1+2)m3+(-3+2)m2n-6
=5m3-m2n-6
解法2：4m3-3m2n-m3+2nm2-6+2m3
=4m3+(-m3)+(2m3)+(-3m2n)+(+2m2n)+(-6)（统一看成加号）
=4m3-m3+2m3-3m2n+2m2n-6（省去加号和括号）
=(4-1+2)m3+(-3+2)m2n-6
=5m3-m2n-6
例9. 求整式x2-7x-2与2x2+4x-1的差．
【错解】x2-7x-2-2x2+4x-1=-x2-3x-3．
【剖析】这题是求两个整式之间的差．x2-7x-2与 2x2+4x-1是两个整体，应给它们加上括号，保持其完整性．（ x2-7x-2）前面是“+”，所以可直接去括号；（2x2+4x-1）前面是“－”号，括号不能直接省去．
【正解】x2-7x-2-(2x2+4x-1)
=x2-7x-2-2x2-4x+1= -x2-11x-1．
例10. 先化简，再求值4x2y－[3xy2－2(xy－ eq \f(1,2)x2y) +3xy]+ 3xy2，其中x= eq \f(3,4)，y=－1．
【错解】原式=4x2y－3xy2+2xy－ eq \f(1,2)x2y－3xy+3xy2= eq \f(7,2)x2y－xy．当x= eq \f(3,4)，y=－1时，原式= eq \f(7,2)× ( eq \f(3,4) )2×(－1)－ eq \f(3,4)×1=－ eq \f(87,32) ．
【剖析】运用去括号法则对代数式进行化简时，要防止漏乘括号前的系数的现象．另外，在代入数值时,要避免符号错误．
【正解】化简方法1：先去小括号，再去中括号
原式=4x2y－[3xy2－2xy+x2y +3xy]+= 4x2y－3xy2+2xy－x2y－3xy+3xy2=3x2y－xy．
化简方法2：保留小括号，先去中括号
原式=4x2y－3xy2+2(xy－ eq \f(1,2)x2y)－3 xy+3xy2=4x2y－3xy2+2xy－x2y－3xy+3xy2=3x2y－xy．
当x= eq \f(3,4)，y=－1时，原式=3× ( eq \f(3,4) )2×(－1)－ eq \f(3,4)×(－1)=－ eq \f(15,16)．
5. 考虑不周
例11．观察下列等式：9-1=8；16-4=12；25-9=16；36-16=20；… 这些等式反映的是正整数间的某种规律，按照这种规律，写出第n个等式:_________________ ．
【错解】等式中的第一个数9,16,25,36…分别是3,5,7,9…的平方，而3,5,7,9…是奇数列，以前学过奇数可表示为2n-1，等号右边都是4的倍数，以前学过4的倍数可表示为4n，∴第n个等式为 (2n-1)2- n2=4n．
【剖析】我们学过常见数的表示：偶数2n(n是整数)；奇数2n-1(n是整数)；能被3整除的数：3n(n是整数)；被4整除余1的数：4n+1(n是整数)等等，但是题目要求写的是第n个等式，因此不能仅仅考虑可表示成什么，还要注意n反应的是序号．例如数列3,5,7,9…的第一个数是3，而当n=1时，2n-1=1，产生矛盾．这时，应该进一步找规律,3=2×1+1，5=2×2+1， 7=2×3+1，依次类推，第n个数应是2n+1．
【正解】(2n+1)2- n2=4(n+1)(n为正整数)．
例12. 请比较x， eq \f(1,x)，x2的大小关系．
【错解】假设x=3，则 eq \f(1,x) = eq \f(1,3)，x2 =9，∴ eq \f(1,x)＜x＜x2；假设x=－3，则 eq \f(1,x)=－ eq \f(1,3)， x2 =9, ∴x＜ eq \f(1,x)＜x2．
【剖析】字母可以表示任意数，但字母的取值必须使代数式有意义，基于这两点，要对x取什么数进行分类．错解把x分为正数和负数两类,不完整．代数式x中的x可取任意数；代数式 eq \f(1,x)中的x可取除0之外的任意数，即正数或负数；代数式x2中的x可取任意数．当x= eq \f(1,x)时，x=1或-1；当x =x2时，x=0或1，所以，应以-1，0，1为界进行分类：①x＜－1②x=－1③－1＜x＜0④x=0⑤0＜x＜1⑥x=1⑦x＞1，合计7类（其中当x=0时，仅限于x与x2比大小）．
【正解】①当x＜－1时，x＜ eq \f(1,x)＜x2②当x=－1时，x= eq \f(1,x)＜x2③当－1＜x＜0时， eq \f(1,x)＜x＜x2④当x=0时，x=x2⑤当0＜x＜1时，x2＜x＜ eq \f(1,x)⑥当x=1时，x= eq \f(1,x) =x2 ⑦当x＞1时， eq \f(1,x)＜x＜x2．
6. 方法不妥
例13. 某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元(m>n)的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包 eq \f(m+n,2)元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店( )
A．盈利了 B．亏损了
C．不赢不亏 D．盈亏不能确定
【错解】第一次进价为每包m元，第二次进价为每包n元，那么两次进价的平均数为 eq \f(m+n,2)元，以同样的价格出售，正好不亏不盈．故选C．
【剖析】第一次进了40包，第二次进了60包，按两种价格进货的数量不同．因为m>n，所以价格贵的数量少一些，价格便宜的数量多一些,因此估测平均进价不是 eq \f(m+n,2)，而是比 eq \f(m+n,2)稍便宜一些. 平均进价=总进价÷总数量，即 eq \f(40m+60n,100)元，再和售价 eq \f(m+n,2)作比较，即可判断盈亏情况．
【正解】要比较 eq \f(40m+60n,100)与 eq \f(m+n,2)的大小，先通分， eq \f(m+n,2) = eq \f(50m+50n,100) ．∵m>n ，∴10m>10n ,∴50m+50n>40m+60n ． ∴ eq \f(50m+50n,100) > eq \f(40m+60n,100), 即 eq \f(m+n,2) > eq \f(40m+60n,100), 故盈利了，选A．
二、解决策略
1.同学们要把握好字母与数的关系．字母表示数有几个特点：（1）任意性：字母可以表示任意数；（2）限制性：字母的取值必须使代数式或实际问题有意义；（3）确定性：如果代数式中的字母取定一个值，那么代数式的值也随之确定；（4）抽象性：与具体的数值相比，字母表示数更有抽象的意义．
2.同学们在解题时要努力做到理清概念、遵循算理、正确理解题意、选择恰当的方法，还要加强思维的严密性，那么做题便能得心应手、游刃有余．如果不慎出现了解题错误，要主动乐观地分析问题所在，反思错误根源．记住：错误也是一种资源，失败乃成功之母．
三、矫正练习
1.若A=2x2-2x-4, B=2x2-3x-4．则A与B的大小关系是（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A= B D．不能确定
2.在括号里填上适当的代数式，使等式成立：3a2-5a+7-( ) =5a2-11a+11．
3．已知甲、乙两种糖果的单价分别是x元/千克和12元/千克．为了使甲乙两种糖果分别销售与把它们混合成什锦糖后再销售收入保持不变，则由20千克甲种糖果和y千克乙种糖果混合而成的什锦糖的单价应是 元/千克．
4．当a=2，b=－1时，求代数式5ab2- [2a2b-2(2ab2- a2b) ]的值．
5．在求一整式减去xy-2yz+3zx时，小王误认为加上此式，所得答案是2yz-3zx+2xy，求正确的答案．
参考答案：1．D 2． -2a2+6a-4 3． eq \f(20x+12y, 20+y)
4．34 5．6yz-9zx ．
(作者单位:南京市宁海中学分校)
